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対角線の数

先日、五角形の対角線の数は何本か、という問いがあった。小生は頭悪いので、描いてみないと解らんので、描いていたら、では六角形はいくつだろう、七角形はいくつだろう、では、一般にn角形の対角線の数を定式化できないものか、と考えた。

合計3時間くらいかかって解った。こんなもの、数学的センスがある人なら中学生でもすぐ解るだろうけど・・・。まあ、小生にとっては、この程度のこと考えるのが、程度に合っていて楽しいし、少しはボケ防止になるかもしれんて。

まず、やはり図を描く。
○四角形の場合。一つの頂点から一本の対角線が引ける。次に隣の頂点からまた一本の対角線が引ける。それでおしまい。
これを、1+1=2(本)と書く。

○次に五角形は、同様に、一つの頂点から2本、次の(隣の)頂点から2本、さらに次の頂点から一本。でおしまい。
これを、2+2+1=5(本)

○次に六角形を、同様に描くと。対角線の数は
3+3+2+1=9(本)

○さらに七角形の対角線の数は
4+4+3+2+1=14(本)

○8角形の場合
5+5+4+3+2+1=20(本)

こうなると、n角形の対角線の数Nはこうなるだろう
 N=(n-3)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+・・・+2+1

これを前後ひっくり返すと
 N=1+2+3+・・・(n-4)+(n-3)+(n-3)

さて、似たやつ、どこかで見たことがあるな・・・
 T=1+2+3+・・・+t  これ、公式に表わせたはずだが・・・思い出せない
どうするか。ここで詰まった。しばらく諦めていた。ところがその三日後の仕事中、ふぃっと頭に浮かんだアイデアがこれだ!

こうすればよい。
 T=1+2+3+・・・(t-2)+(t-1)+t
これを前後ひっくり返して書くと

 T=t+(t-1)+(t-2)+・・・3+2+1

この二つの式を上下にピタッと張り合わして足すと
2T=(t+1)+(t+1)+・・・〈t個できる〉
=(t+1)×t =t(t+1) ゆえに
T=t(t+1)/2・・・ⓐ式とする。

とすると、
N=1+2+3+・・・(n-4)+(n-3)+(n-3)は
ⓐ式のtにn-3を代入し
N=(n-3)(n-2)/2+(n-3)
 =n(n-3)/2  という解が得られた!

では試しに、
n=5のとき、N=5×2÷2=5
n=8のとき、N=8×5÷2=20  おっ合ってるようだ。
n=10のときN=10×7÷2=35  これも合っていそうだ。
n=100のときN=100×97÷2=4850 ありえる。 

すごく嬉しいけれど、なんかもっと簡単にこんな式出来るような気もする。  

というのも、N=n(n-3)/2という式にじっと目を凝らすと、
三角形のときは、一つの頂点から隣り合った頂点に対角線を引くことは出来ないから、
nが3のとき0になる式 n-3 が含まれているに違いない。
つまり式は X×(n-3)となる可能性が濃厚だ。

そうすると、なんとなくn角形の場合、nがどんどん大きくなると、対角線の数も
さらにどんどん大きくなるから、n×(n-3)というのが式の中に含まれていそうな
気がする。とすると初めに図形に線を引いた手順を思い出し、1+2+・・・を
連想して感のいい人だったら、すぐ解を出せるかもしれない。
と思うと、なんか虚しい気もする。 


つれづれまるままに、日くらしPCにむかひて、心にうつりゆくよしなし事を、そこはかとなく書きつくれば、あやしうこそものぐるほしけれ
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テーマ : どうでもいい報告 - ジャンル : 日記

コメント

No title

umama01さん。小生はいつの間にか、学生時代習った公式をすっかり忘れてしまっているのに気がついて、歳をとったもんだなぁって、あらためて感じます。

No title

昔、テストで出ましたな~。
公式を覚えていない私は、12角形を描いて線を引いて……苦労して間違いだった記憶が。。。

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